Question

9．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；
（2）分两种情况进行计算即可；
（3）确定出面积达到最大时，直线PC和抛物线相交于唯一点，从而确定出直线PC解析式为y=-x+$\frac{21}{4}$，根据锐角三角函数求出BD，计算即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n，
∵A（3，0），B（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3；
（2）由运动得，OE=t，AF=$\sqrt{2}$t，
∵OA=3，
∴AE=OA-OE=3-t，
∵△AEF和△AOB为直角三角形，且∠EAF=∠OAB，
①如图1，

当△AOB∽△AEF时，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}}=\frac{3-t}{3}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
②如图2，

当△AOB∽△AFE时，
∴$\frac{OA}{AF}=\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{2}t}=\frac{3\sqrt{2}}{3-t}$，
∴t=1；
（3）如图，存在，

过点P作PC∥AB交y轴于C，
∵直线AB解析式为y=-x+3，
∴设直线PC解析式为y=-x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴-x+b=-x²+2x+3，
∴x²-3x+b-3=0
∴△=9-4（b-3）=0
∴b=$\frac{21}{4}$，
∴BC=$\frac{21}{4}$-3=$\frac{9}{4}$，x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
过点B作BD⊥PC，
∴直线BD解析式为y=x+3，
∴$\sqrt{2}$BD=$\frac{9}{4}$，
∴BD=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∵AB=3$\sqrt{2}$
S_最大=$\frac{1}{2}$AB×BD=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{9\sqrt{2}}{8}$=$\frac{27}{8}$．
即：存在面积最大，最大是$\frac{27}{8}$，此时点P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，平行线的解析式的确定方法，互相垂直的直线解析式的确定方法，解本题的关键是确定出△PAB面积最大时点P的特点．