在平面直角坐标系xoy中.⊙C的半径为r.点P是与圆心C不重合的点.给出如下定义:如果点P′为射线CP上一点.满足CP•CP′=r2.那么称点P′为点P关于⊙C的反演点.图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．(1)如图2.当⊙O的半径为1时.分别求出点M.T($\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$)关于⊙O的反演点M′.N′.T′的坐标,.B(3.0).以AB为直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在平面直角坐标系xoy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r²，那么称点P′为点P关于⊙C的反演点，图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图2，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图3：已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点，如果点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小．

分析（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是直角三角形．

解答解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，
∴ON′=$\frac{1}{2}$，∴反演点N′坐标（0，$\frac{1}{2}$），
∵OM•OM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演点M′坐标（1，0）
∵OT•OT′=1，OT=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OT′=$\sqrt{2}$，
∵T′在第一象限的角平分线上，
∴反演点T′坐标（1，1）

（2）由题意：AB=2$\sqrt{5}$，r=$\sqrt{5}$，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，
∴E′G=$\frac{5}{2}$，
∵OG•O′G=5，OG=2$\sqrt{2}$，
∴O′G=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵E′（-$\frac{1}{2}$，2），O′（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∴O′E′=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴E′G²=E′O′²+O′G²，
∴∠E′O′G=90°．