Question

11．如图a，有两个全等的正三角形ABC和DEF，点D、C分别为△ABC、DEF的内心；固定点D，将△DEF顺时针旋转，使得DF经过点C，如图b，则图a中四边形CNDM与图b中△CDM面积的比为（　　）

• A． 2：1
• B． 2：$\sqrt{3}$
• C． 4：3
• D． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接MN、CD．由等三角形的性质可知∠DCM=30°，设MN的长为a，CD=$\sqrt{3}$a，由四边形CNDM的面积=$\frac{1}{2}$MN•CD可求得四边形CNDM的面积，然后在△DCM中，依据特殊锐角三角函数值可求得DM、CM的长，依据三角形的面积公式可求得△CDM的面积，从而可求得答案．

解答 解：如图所示：连接MN、CD．

设MN的长为a，CD=$\sqrt{3}$a，则四边形CNDM的面积=$\frac{1}{2}$MN•CD=$\frac{1}{2}$×a×$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∵∠DCM=30°，∠CDM=60°，
∴DM=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，CM=$\frac{3}{2}$a．
∴△CDM=$\frac{1}{2}$DM•CM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$×$\frac{3a}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a²．
∴四边形CNDM与图b中△CDM面积的比=4：3．
故选；C．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、旋转的性质、等边三角形的性质、特殊锐角三角函数的应用，依据特殊锐角三角函数值求得MN、DC、DM、CM之间的关系是解题的关键．