Question

7．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，在△ABC中裁剪出矩形DEFG．则下列结论一定成立的是①②（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
①当G为AC的中点时，DG=$\frac{12}{5}$；
②当GD=GF时，GF=$\frac{120}{37}$；
③当DG=CF=1时，GF=$\frac{65}{16}$
④当△ADG≌△FEB时，矩形DEFG的面积为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 ①过C作CH⊥AB于H，交GF于M，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根据三角形的面积求得CH=$\frac{24}{5}$，由三角形的中位线的性质即可得到①正确；
②由正方形的性质得到DG=GF=EF=DE，由（1）证得AB=10，CH=$\frac{24}{5}$，通过△CGF∽△CAB，得到$\frac{GF}{AB}=\frac{CM}{CH}$，即可得到②正确；
③根据已知条件求得GF=$\frac{AB•CM}{CH}$=$\frac{10×\frac{19}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{190}{24}$于是得到③错误；
④通过△ADG≌△FEB，得到AD=EF，DG=BE，于是得到∠A=∠B=45°，于题设矛盾于是得到④错误．

解答 解：①过C作CH⊥AB于H，交GF于M，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×$AC•BC=$\frac{1}{2}$×AB•CH，
∴CH=$\frac{24}{5}$，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GD⊥AB，
∴GD∥CH，
∵G为AC的中点时，
∴GD=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{12}{5}$，故①正确；
②∵GD=GF，
∴矩形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE，
由（1）证得AB=10，CH=$\frac{24}{5}$，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴$\frac{GF}{AB}=\frac{CM}{CH}$，
∴GF=$\frac{120}{37}$；故②正确；
③∵DG=CF=1，
∴HM=1，
∴CM=$\frac{19}{5}$，
由②证得$\frac{GF}{AB}=\frac{CM}{CH}$，
∴GF=$\frac{AB•CM}{CH}$=$\frac{10×\frac{19}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{190}{24}$，故③错误；
④∵△ADG≌△FEB，
∴AD=EF，DG=BE，
∵DG=EF，
∴AD=BE=DG=EF，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠A≠∠B，故④错误；
故答案为：①②．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．