Question

12．△ABC中，BE⊥AE，CF⊥AE，AB：AC=DE：DF，求证：AE平分∠BAC．

Answer 1

分析 首先证得△BDE∽△CDF，得到$\frac{DE}{DF}=\frac{BE}{CF}$，由已知条件AB：AC=DE：DF，等量代换得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$，于是得到R_t△ABE∽R_t△ACF，即可得到结论．

解答 解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵∠BDE=∠CDF，
∴△BDE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{BE}{CF}$，
∵AB：AC=DE：DF，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$，
∴R_t△ABE∽R_t△ACF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴AE平分∠BAC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．