Question

2．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=4，BC=3．
（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作?PCQD，请问对角线PQ，DC能否互相垂直，为什么？
（2）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作?PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
（3）图1，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作?PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=nPD（n为常数），再以PE、PC为边作?PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用对角线PQ，DC垂直时，平行四边形即为菱形进而得出答案；
（2）四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x²+3²+（2-x）²+1=8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等；
（3）首先证明△ADP≌△HCQ（AAS），进而求得BH的长，即可求得答案；
（4）作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证Rt△ADP∽Rt△QHC．由DE=nPD，可昨BH=3+n+1=n+4．由图知，当PQ⊥AB时，PQ的长最小值为n+4，$\frac{PD}{（1+n）PD}$=$\frac{AD}{HC}$，得出BH=3+n+1=n+4，进而得出答案．

解答 解：（1）当对角线PQ，DC互相垂直，则?PCQD是菱形，
故PD=PC，
当PD=PC时，此时AP=BC=3，AD=BP=1，
即当AP=BC=3，AD=BP=1时，对角线PQ，DC互相垂直；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=4，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2$\sqrt{5}$，
∵四边形PCQD是平行四边形，
若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
设PB=x，则AP=4-x，
在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+（4-x）²+1=（2$\sqrt{5}$）²，
化简得x²-4x+3=0，
∵△=（-4）²-4×1×3=4＞0，
∴解得：x₁=1，x₂=3，
∴即对角线PQ与DC可能相等，此时AP=1或3；

（3）如图2，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠APQ=∠HQP，
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH，
∵PD∥QC，
∴∠DPQ=∠CQP，
∴∠APD=∠CQH，
在△ADP和△HCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠H}\\{∠APD=∠HQC}\\{PD=QC}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△HCQ（AAS），
∴AD=CH=1，
∴BH=BC+CH=3+2=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

（4）如图3，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AB∥QH，
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH．
∵以PE，PC 为边作?PCQE，
∴PE∥CQ，
∴∠DPQ=∠PQC，
∴∠APD=∠CQH，
∴Rt△ADP∽Rt△QHC．
∴$\frac{PD}{QC}$=$\frac{AP}{HQ}$，即$\frac{PD}{PE}$=$\frac{AD}{HC}$，
∵DE=nPD，
∴$\frac{PD}{（1+n）PD}$=$\frac{AD}{HC}$，
∵AD=1，
∴HC=n+1，
∵BC=3，
∴BH=3+n+1=n+4．
∴由图知，当PQ⊥AB时，PQ的长最小值为n+4，

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．