Question

10．如图，直线y=k（x-2）+k-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求B点坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=k（x-2）+k-1（k＞0）上在第一象限内的一个动点．
①当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
②当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为$\frac{9}{4}$，并说明理由；
③在②成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得直线y=k（x-2）+k-1与y轴的交点，则OC的长度即可求解，进而求得B的坐标，把B的坐标代入解析式即可求得k的值；
（2）①②根据三角形的面积公式即可求解；
③分O，P，A分别是等腰三角形的顶角顶点三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）在y=k（x-2）+k-1中，令x=0，则y=-k-1，
故C的坐标是（0，-k-1），
OC=|-k-1|，令y=0，则x=$\frac{k+1}{k}$，
故B的坐标是（$\frac{k+1}{k}$，0），OB=$\frac{k+1}{k}$，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{|{k+1}|}}{k（k+1）}=\frac{1}{2}$
当k+1＞0时，$\frac{{|{k+1}|}}{k（k+1）}=\frac{k+1}{k（k+1）}=\frac{1}{k}=\frac{1}{2}$
∴k=2，
把k=2代入B的坐标中，
则B的坐标是：（$\frac{3}{2}$，0）
当k+1＜0时，$\frac{{|{k+1}|}}{k（k+1）}=\frac{-（k+1）}{k（k+1）}=\frac{-1}{k}=\frac{1}{2}$
∴k=-2，
把k=-2代入B的坐标中，
则B的坐标是：（$\frac{1}{2}$，0）；
（2）①∵k＞0，
∴k=2，
∴OB=$\frac{3}{2}$，
则S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（2x-3）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$；
②根据题意得：$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{4}$，
解得：x=3，
则A的坐标是（3，3）；
?OA=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
当O是△AOP的顶角顶点时，则P的坐标是（-3$\sqrt{2}$，0）或（3$\sqrt{2}$，0）；
当A是△AOP的顶角顶点时，则P的坐标是（6，0）；
当P是△AOP的顶角顶点时，则P的坐标是（3，0）

点评 本题考查了一次函数与等腰三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确进行讨论是关键．