Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE，连接OC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为4，∠D=30°，求图中阴影部分的面积（结果用含π和根号的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；（2）

【解析】试题分析：由OA=OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA .根据角平分线的定义可得∠OAC=∠CAE ，所以∠OCA=∠CAE ，即可判定OC∥AE ，再由AE⊥DE ，即可得∠E =90°=∠OCD，结论得证；（2）在Rt△ODC中，求得OD、CD的长，再由S阴影=S△OCD-S扇形OBC即可求得图中阴影部分的面积．

试题解析：

（1）证明：

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA .

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE ，

∴∠OCA=∠CAE ，

∴OC∥AE ，

∴∠OCD=∠E .

∵AE⊥DE ，

∴∠E =90°=∠OCD，

即OC⊥CD ，

∴CD是圆O的切线.

（2）在Rt△ODC中，

∵∠D=30°，OC=4，

∴∠COD=60°，OD=2OC=8

∴，

∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC= .