Question

20．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，CA=CB，设$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，
（1）试用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示下列向量：
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{CB}$=-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
（2）请在图中画出表示$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$的和向量．

Answer 1

分析 （1）过C点作CE⊥AB于E，根据三角形法则可用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AC}$；根据等腰三角形的性质和矩形的性质可得$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{FB}$=-$\overrightarrow{b}$，根据三角形法则可用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{CB}$；
（2）根据平行向量可以延长DC至CF，使得CF=AB，连结AF即为所求．

解答 解：（1）过C点作CE⊥AB于E，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
∵CA=CB，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FE}$，
∵AB∥DC，∠D=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{AD}$=-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{CB}$=-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；
（2）请在图中画出表示$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$的和向量．
故答案为：$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$；-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

点评 考查了平面向量，直角梯形，注意向量的和与差后仍然是一个向量．