Question

15．计算：
（1）（x+1）（x-1）（x²-x+1）（x²+x+1）；
（2）已知：x+y=1，求x³+y³+3xy的值；
（3）已知：x²-3x+1=0，求x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$的值；
（4）设x=$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$，y=$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$，求x³+y³的值．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式和立方差公式可以解答本题；
（2）根据立方和公式可以解答本题；
（3）根据立方和公式可以解答本题；
（4）先化简x、y，再利用立方和公式可以解答本题．

解答 解：（1）（x+1）（x-1）（x²-x+1）（x²+x+1）
=[（x+1）（x-1）][（x²+1）-x][（x²+1）+x]
=（x²-1）[（x²+1）²-x²]
=（x²-1）[x⁴+x²+1]
=x⁶-1；
（2）∵x+y=1，
∴x³+y³+3xy
=（x+y）（x²-xy+y²）+3xy
=（x+y）[（x+y）²-3xy]+3xy
=1×[1²-3xy]+3xy
=1-3xy+3xy
=1；
（3）∵x²-3x+1=0，
∴x-3+$\frac{1}{x}$=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=3，
∴x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=（x+$\frac{1}{x}$）（${x}^{2}-1+\frac{1}{{x}^{2}}$）
=（x+$\frac{1}{x}$）[$（x+\frac{1}{x}）^{2}-3$]
=3×[3²-3]
=3×6
=18；
（4）∵x=$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$=（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$，
y=$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=（2-$\sqrt{3}$）²=7-4$\sqrt{3}$，
x³+y³
=（x+y）（x²-xy+y²）
=（7+4$\sqrt{3}$+7-4$\sqrt{3}$）[$（7+4\sqrt{3}）^{2}-（7+4\sqrt{3}）（7-4\sqrt{3}）+（7-4\sqrt{3}）^{2}$]
=14×193
=2702．

点评 本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、分式的值，解题的关键是明确题意，会利用公式进行问题的解答．