Question

8．观察下列式子，并探索它们的规律：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
试用正整数n表示这个规律，并加以证明．

Answer 1

分析 分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差，由此规律得出答案即可．

解答 解：∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
证明：∵$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．