Question

13．已知二次函数C₁：y=ax²+4ax（a≠0）的图象顶点为M，显然它与x轴一定有两个不同的交点．
（1）求二次函数C₁与x轴的两个交点的坐标；
（2）若二次函数C₁与一次函数y=-x-4只有一个交点，求二次函数C₁的解析式；
（3）将二次函数C₁绕原点中心对称得到求二次函数C₂，
①直接写出求二次函数C₂的解析式（用含a式子表示）；
②二次函数C₂的图象能否经过二次函数C₁的图象顶点M？说明理由；
③直线x=1与二次函数C₁、C₂分别交于P、Q两点，已知：PQ=2，求二次函数C₁的解析式．

Answer 1

分析 （1）将y=0代入二次函数C₁：y=ax²+4ax（a≠0）中，即可求得二次函数C₁与x轴的两个交点的坐标；
（2）令ax²+4ax=-x-4，化为二元一次方程的一般形式，然后令△=0，即可求得a的值，从而可以求得二次函数C₁的解析式；
（3）①根据二次函数C₁绕原点中心对称得到求二次函数C₂，从而可以求得二次函数C₂的解析式；
②根据一次函数C₁的解析式可以求得它的顶点坐标，然后代入二次函数C₂的解析式中，即可解答本题；
③根据题意可以分别求得P、Q的坐标，从而可以求得a的值，进而得到二次函数C₁的解析式．

解答 解：（1）∵y=ax²+4ax=ax（x+4），
∴y=0时，ax（x+4）=0，
解得，x₁=0，x₂=-4，
即二次函数C₁与x轴的两个交点的坐标（0，0），（-4，0）；
（2）∵二次函数C₁与一次函数y=-x-4只有一个交点，
∴ax²+4ax=-x-4
∴ax²+（4a+1）x+4=0，
∴△=（4a+1）²-4a×4=0，
解得，a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函数C₁的解析式是y=$\frac{1}{4}{x}^{2}+x$；
（3）①二次函数C₁绕原点中心对称得到求二次函数C₂，二次函数C₁：y=ax²+4ax（a≠0），
∴二次函数C₂的解析式是：-y=a（-x）²+4a×（-x），
化简，得y=-ax²+4ax，
即二次函数C₂的解析式是y=-ax²+4ax；
②二次函数C₂的图象不经过二次函数C₁的图象顶点M，
∵二次函数C₁：y=ax²+4ax=a（x+2）²-4a，
∴二次函数C₁的顶点坐标是（-2，-4a），
将x=-2代入二次函数C₂的解析式y=-ax²+4ax，得
y=-a×（-2）²+4a×（-2）=-12a，
∵-4a≠-12a，
∴二次函数C₂的图象不经过二次函数C₁的图象顶点M；
③当x=1时，y=ax²+4ax=a×1²+4a×1=a+4a=5a，
当x=1时，y=-ax²+4ax=-a×1²+4a×1=3a，
∴点P的坐标为（1，5a），点Q的坐标（1，3a），
∴PQ=|5a-3a|=|2a|，
∵PQ=2，
∴|2a|=2，
解得，a=±1，
∴二次函数C₁的解析式是y=x²+4x或y=-x²-4x．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．