Question

4．如图1，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，如果点G在AD上，且∠GCE=45°，那么EG=BE+DG是否成立，请说明理由．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，点E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）证明△CBE≌△CDF，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据全等三角形的性质得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，BE=DF，证明△ECG≌△FCG，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据（2）的结论和勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：在△CBE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠ADC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）解：EG=BE+DG成立，
∵△CBE≌△CDF，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，BE=DF，
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠FCG=45°，
∴∠FCG=∠GCE，
在△ECG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴EG=BE+DG；
（3）作CF⊥AD交AD的延长线于F，
由（2）得，DE=BE+DF，
设DE=x，
∵AB=12，BE=4，
∴AE=8，
∴DF=x-4，AD=12-（x-4）=16-x，
由勾股定理得，8²+（16-x）²=x²，
解得，x=10，
∴DE的长为10．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．