Question

7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（-8，4）．过点D（0，6）和E（12，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；
（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；
（3）满足条件的最内的双曲线的m=16，最外的双曲线的m=32，所以可得其取值范围．

解答 解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点D，E的坐标为（0，6）、（12，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ 12k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+6．
∵点M在AB边上，B（8，4），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为4；
又∵点M在直线y=-$\frac{1}{2}$x+6上，
∴4=-$\frac{1}{2}$x+6；
∴x=4；
∴M（4，4）；

（2）∵y=$\frac{m}{x}$（x＞0）经过点M（4，4），
∴m=16；
∴y=$\frac{16}{x}$；
又∵点N在BC边上，B（8，4），
∴点N的横坐标为8．
∵点N在直线y=-$\frac{1}{2}$x+6上，
∴y=2；
∴N（8，2）；
∵当x=8时，y=$\frac{16}{x}$=2，
∴点N在函数y=$\frac{16}{x}$的图象上；

（3）当反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象通过点M（4，4），N（8，2）时m的值最小，当反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象通过点B（8，4）时m的值最大，
∴4=$\frac{m}{4}$，有m的值最小为16，
4=$\frac{m}{8}$，有m的值最大为32，
∴16≤m≤32．

点评 此题综合考查了反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上．