Question

【题目】阅读与思考：

阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且＝，连接BF可得BF＝BE．

（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；

（2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接CE、BC，证出△CEB≌△CFB，则可得出结论；
（2）先求BE长，证出△AFB∽△FPB，得比例线段即可求出BP长．

（1）如图1所示，连接CE、BC，

∵CD⊥AB，AD＝DE，

∴AC＝CE，

∴∠CAE＝∠CEA，

又∵，

∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC，

∴CE＝CF，

又∵∠A+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°，

∴∠CEB＝∠F，

∴△CEB≌△CFB（AAS），

∴BE＝BF；

（2）如图2所示，连接AF，

∵AB＝10，EO＝，

∴EB＝7.5，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∵l与与⊙O相切于点F，

∴∠OFP＝90°，

∴∠AFO＝∠BFP，

又∵OF＝OA，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠OAF＝∠BFP，

∵BP⊥l于点P，

∴∠BPF＝90°，

∴△AFB∽△FPB，

，

即，

．