Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则下列判断：
①当AP=BP时，AB′∥CP；          
②当AP=BP时，∠B′PC=2∠B′AC
③当CP⊥AB时，AP=$\frac{17}{5}$；          
④B′A长度的最小值是1．
其中正确的判断是①②④ （填入正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及折叠的性质，易得∠AB′P=∠CPB′，即可得AB′∥CP；
②由PA=PB′=PC=PB，可得点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上，然后由圆周角定理，求得答案；
③当CP⊥AB时，易证得△ACP∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AP的长；
④易得当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值，继而求得答案．

解答 解：①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，
∴AP=BP=CP，∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB′），
由折叠的性质可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB′），
∴AP=B′P，
∴∠AB′P=∠B′AP=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB′），
∴∠AB′P=∠CPB′，
∴AB′∥CP；故①正确；
②∵AP=BP，
∴PA=PB′=PC=PB，
∴点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上，
∵由折叠的性质可得：BC=B′C，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{B′C}$，
∴∠B′PC=2∠B′AC；故②正确；
③当CP⊥AB时，∠APC=∠ACB，
∵∠PAC=∠CAB，
∴△ACP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AP=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{16}{5}$；故③错误；
④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，
∵CB′长度固定不变，
∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．
根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，
∴AB′=AC-B′C=4-3=1．故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．