Question

已知矩形纸片ABCD中，AD=6，CD=4，将纸片折叠，使点A落在CD边上点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）当P位于CD边中点时，求△PCG与△EDP的相似比；
（2）在（1）的条件下，求FG的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据翻折的性质可得AE=EP，设ED=x，表示出EP，再利用勾股定理列出方程求出x，然后根据相似三角形相似比的定义解答；
（2）求出CG，再利用勾股定理列式 求出PG，然后求出QG，从而得到CG=QG，再利用“角边角”证明△PCG和△FQG全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=PG．

解答：解：（1）由翻折的性质的，AE=EP，
设ED=x，则EP=AE=6-x，
∵P位于CD边中点，
∴DP=CP=

1

2

CD=

1

2

×4=2，
在Rt△PDE中，ED²+DP²=EP²，
即x²+2²=（6-x）²，
解得x=

8

3

，
所以，

PC

ED

=

2

8 3

=

3

4

，
即△PCG与△EDP的相似比为

3

4

；

（2）∵∠EPD+∠CPG=90°，
∠EPD+∠DEP=90°，
∴∠DEP=∠CPG，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△PCG∽△EDP，
∴

DP

CG

=

PC

ED

=

4

3

，
∴CG=

3

4

DP=

3

4

×2=

3

2

，
在Rt△CGP中，由勾股定理得，DP=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
∴QG=4-

5

2

=

3

2

，
∴CG=QG，
在△PCG和△FQG中，

∠PGC=∠FGQ CG=QG ∠C=∠Q=90°

，
∴△PCG≌△FQG（ASA），
∴FG=PG=

5

2

．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）利用勾股定理列方程求出ED的长是解题的关键，（2）根据线段的长度得到CG=QG是解题的关键．