Question

如图，△BDE是等边三角形，∠BDC=30°，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°．求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，连接EA．通过证明△BEA≌△BDC可以得到AB=BC，再根据“有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形”证得结论．

解答：证明：如图，连接EA．
∵△BDE是等边三角形，
∵BE=DE，∠EBD=∠EDB=60°，
又∵∠ABD=∠ADB=15°，
∴AB=AD，∠EBA=∠EDA=45°，
在△BEA与△DEA中，

EB=ED ∠EBA=∠EDA AB=AD

，
∴△BEA≌△DEA（SAS），
∴∠BEA=∠DEA=30°．
∴∠BEA=∠BDC=30°．
在△BEA与△BDC中，

∠BEA=∠BDC BE=BD ∠EBA=∠CBD=45°

，
∴△BEA≌△BDC（ASA），
∴AB=CB．
又∵∠ABC=∠BCD+∠ABD=60°，
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定．证明EA平分∠BED时，也可以通过作BD边上的垂线来证明EA是BD边上垂线上的两点，利用等腰三角形的“三线合一”的性质来推知．