Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，AM是∠DAC的平分线．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；
①作AC的中点 E． 
②连接BE并延长交AM于点F；
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①作线段AC的垂直平分线交AC于点E即可；
②连接BE并延长交AM于点F即可；
（2）利用平行线的判断得出AF∥BC，再利用全等三角形的判定得出△AEF≌△CEB（ASA），进而得出AF=BC．

解答 解：（1）①如图，点E即为所求；
②如图，点F即为所求；

（2）AF∥BC且AF=BC．
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作图可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC．
∵E是AC的中点，
∴AE=CE．
在△AEF和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠ECB}\\{AE=EC}\\{∠AEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．