Question

8．如图，二次函数y=ax²-4ax与x轴交于O，A两点，y轴上有一点B（0，2），作经过O，A，B三点的⊙C，点P是第一象限内⊙C上的任意一点，连接BP，AP，当四边形OAPB面积最大时，点P的坐标为（3，3）．

Answer 1

分析 当△PAB的面积最大时，四边形AOBP的面积最大，因为AB是定值，所以当点P到AB的距离最大时，△PAB的面积最大值，此时PA=PB，作PE⊥y轴于E，PF⊥OA于F．由△PEB≌△PFA，推出PE=PF，设PE=PF=a，再证明四边形PEOF是正方形，在 Rt△PAF中，利用勾股定理，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，

∵当△PAB的面积最大时，四边形AOBP的面积最大，
∵AB是定值，
∴当点P到AB的距离最大时，△PAB的面积最大值，
此时PA=PB，作PE⊥y轴于E，PF⊥OA于F．
∵∠PBE+∠PBO=180°，∠PBO+∠PAF=180°，
∴∠PBE=∠PAF，
在△PEB和△PFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFA}\\{∠PBE=∠PAF}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PEB≌△PFA，
∴PE=PF，设PE=PF=a，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四边形PEOF是正方形，
∴OF=PF=a，
∵BO=2，AO=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴PB=PA=$\sqrt{10}$，
在Rt△PAF中，∵PA²=PF²+AF²，
∴10=a²+（4-a）²，
∴a=3或1（舍弃）
∴点P坐标（3，3）．
故答案为（3，3）．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．