Question

如图，点A是双曲线y=（k＞0，x＞0）上一动点，AD⊥y轴于D，延长AD交双曲线y=-（x＜0）于点B，BC∥y轴交x轴于E，交AO的延长线于点C，则下列说法正确的个数是（ ）
①当k=1时，四边形AOEB的面积是4.5；
②当△EOC的面积是4时，k=2；
③当k一定时，BD：AD的值一定；
④当点A离原点O最近时，且AO=OC，则OB=2．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：①根据反比例函数图象的性质，求出△AOD的面积与四边形BEOD的面积，两者相加就是四边形AOEB的面积；
②求出当k=2时的△EOC的面积，如果△EOC的面积等于4，则说明本题正确，否则错误；
③当k一定时，设点A的坐标为（a，b），然后表示出点B的坐标，即可得到BD与AD的长度，两者相比即可判断；
④点A离原点O最近时，也就是点A的横坐标与纵坐标相等的时候，根据AO=OC，利用相似三角形对应边成比例求出AD=BD，从而得到k=2，然后求出点A的坐标，从而也可以求出点B的坐标，再利用勾股定理即可求出OB的长度．
解答：解：①当k=1时，S_△AOD=×AD•OD=×1=0.5，
∵点B在双曲线y=-（x＜0）上，
∴S_{四边形BEOD}=BE•OE=4，
∴S_{四边形AOEB}=S_△AOD+S_{四边形BEOD}=0.5+4=4.5，
故本小题正确；
②当k=2时，S_△AOD=×AD•OD=×2=1，
∵两双曲线分别为y=，y=-，
∴AD：BD=2：4=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S_△AOD：S_△ABC=（1：3）²=1：9，
∵S_△EOC=S_△ABC-S_{四边形BEOD}-S_△AOD=1×9-4-1=4，
∴△EOC的面积是4时，k=2，
故本小题正确；
③设点A的坐标为（a，b），则b=，
∴a=，-=b，
解得x=-，
∴BD=|x|=，AD=a=，
∴BD：AD=：=4：k，
∵k一定时，
∴BD：AD的值一定；
故本小题正确；
④∵OD∥BC，AO=OC，
∴AD=BD，
∴k：|-4|=，
解得k=2，
点A离原点O最近时，点A的横坐标与纵坐标相等，
∴设点A坐标为（a，a），则=a，
解得a=，
∴=-，
解得x=-2，
∴点B的坐标为B（-2，），
∴OB==≠2．
故本小题错误．
所以说法正确的有①②③共3个．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数图象的性质，平行线成比例定理，勾股定理，综合性较强，难度较大，需要仔细分析，细心求解方可完成，对提高同学们的分析问题、解决问题的能力大有帮助．