题目内容
（2013•萧山区模拟）如图，点P是双曲线y=4
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| x |
（0，2
）、（0，2）、（0，
）、（0，8）
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8
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| 3 |
（0，2
）、（0，2）、（0，
）、（0，8）
．| 3 |
8
| ||
| 3 |
分析：设P点坐标为（a，b），a＞0，讨论：（1）若∠OQP=90°，①当∠POQ=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得b=
a，而点P在反比例函数图象上，则
=b，得到
=
a，可解得a=2，则b=2
，于是可确定Q点坐标；②当∠OPQ=30°，利用同样方法可求Q点坐标；若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，①当∠POQ=30°，根据（1）可得到P点坐标为（2，2
），再计算AQ的长，即可得到Q点坐标；②当∠PQO=30°，计算方法与②一样．
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4
| ||
| a |
4
| ||
| a |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解答：解：设P点坐标为（a，b），a＞0，
（1）若∠OQP=90°，
①当∠POQ=30°，则b=
a，
∵
=b，
∴
=
a，解得a=2，则b=2
，
∴Q点坐标为（0，2
），
②当∠OPQ=30°，则a=
b，
∵
=b，
∴
=
，解得a=2
，则b=2，
∴Q点坐标为（0，2）；
（2）若∠OPQ=90°，
作PA⊥y轴于A点，如图，
①当∠POQ=30°，则b=
a，
∵
=b，
∴
=
a，解得a=2，则b=2
，
∴P点坐标为（2，2
），
∵∠QPA=30°，
∴AQ=
AP=
，
∴OQ=2
+
=
，
∴Q点坐标为（0，
）；
②当∠PQO=30°，则a=
b，
∵
=b，
∴
=
，解得a=2
，则b=2，
∴P点坐标为（2
，2）；
∵∠PQA=30°，
∴AQ=
AP=6，
∴OQ=6+2=8，
∴Q点的坐标为（0，8）．
∴符合条件的点Q的坐标为（0，2
）、（0，2）、（0，
）、（0，8）．
故答案为（0，2
）、（0，2）、（0，
）、（0，8）．
（1）若∠OQP=90°，
①当∠POQ=30°，则b=
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∵
4
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| a |
∴
4
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| a |
| 3 |
| 3 |
∴Q点坐标为（0，2
| 3 |
②当∠OPQ=30°，则a=
| 3 |
∵
4
| ||
| a |
∴
4
| ||
| a |
| a | ||
|
| 3 |
∴Q点坐标为（0，2）；
（2）若∠OPQ=90°，
作PA⊥y轴于A点，如图，
①当∠POQ=30°，则b=
| 3 |
∵
4
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| a |
∴
4
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| a |
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| 3 |
∴P点坐标为（2，2
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∵∠QPA=30°，
∴AQ=
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2
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| 3 |
∴OQ=2
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2
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8
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∴Q点坐标为（0，
8
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②当∠PQO=30°，则a=
| 3 |
∵
4
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| a |
∴
4
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| a |
| a | ||
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∴P点坐标为（2
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∵∠PQA=30°，
∴AQ=
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∴OQ=6+2=8，
∴Q点的坐标为（0，8）．
∴符合条件的点Q的坐标为（0，2
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故答案为（0，2
| 3 |
8
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点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=
图象上的点满足其解析式；利用含30°的直角三角形三边的关系可简化计算；运用分类讨论的思想使解题更加完整．
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| x |
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