题目内容

(2013•南通二模)如图,点A是双曲线y=
4
x
在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰Rt△ABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为
y=-
4
x
y=-
4
x
分析:连结OC,作CD⊥x轴于D,AE⊥x轴于E,设A点坐标为(a,
4
a
),利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称,则OA=OB,再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA,OC⊥OA,然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE,则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE,所以OD=AE=
4
a
,CD=OE=a,于是C点坐标为(-
4
a
,a),最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式.
解答:解:连结OC,作CD⊥x轴于D,AE⊥x轴于E,如图,
设A点坐标为(a,
4
a
),
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=
4
x
的交点,
∴点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴OC=OA,OC⊥OA,
∴∠DOC+∠AOE=90°,
∵∠DOC+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠AOE,
∵在△COD和△OAE中
∠CDO=∠OEA
∠DCO=∠EOA
CO=OA

∴△COD≌△OAE(AAS),
∴OD=AE=
4
a
,CD=OE=a,
∴C点坐标为(-
4
a
,a),
∵-
4
a
•a=-4,
∴点C在反比例函数y=-
4
x
图象上.
故答案为y=-
4
x
点评:本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质;熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题.
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