Question

8．（宁波市镇海区）已知直线y=$\frac{kx+2k-4}{k-1}$（k≠1）．
（1）说明无论k取不等于1的任何实数此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标；
（2）若点B（5，0），点P在y轴上，点A为（1）中确定的定点．要使△PAB为等腰三角形．求直线PA的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据函数与k的值无关，可得k的系数等于零，不含k的项等于零，可得x、y的值，可得答案；
（2）根据等腰三角形的定义，可得关于p的方程，根据解方程，可得P点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

解答 解：（1）由y=$\frac{kx+2k-4}{k-1}$，得
（k-1）y=kx+2k-4，
即：k（y-x-2）=y-4．
令y-x-2=y-4=0，即x=2，y=4，
则直线必过（2，4）点，
即无论k取不等于1的任何实数此直线都经过定点（2，4）；
（2）A（2，4），B（5，0），由P在y轴上，设P（0，p），
AP=$\sqrt{{2}^{2}+（4-p）^{2}}$，PB=$\sqrt{{5}^{2}+{p}^{2}}$，AB=$\sqrt{（5-2）^{2}+（0-4）^{2}}$=5，
①|PA|=|PB|，即4+（4-p）²=25+p²，解得p=-$\frac{5}{8}$，即P（0，-$\frac{5}{8}$），
设PA的解析式为y=kx+b，将P、A点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{8}}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{37}{16}}\\{b=-\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，
PA的解析式为y=$\frac{37}{16}$x-$\frac{5}{8}$；
②|PA|=|AB|，即4+（4-p）²=25，解得p=4+$\sqrt{21}$或p=4-$\sqrt{21}$，
即P₂（0，4+$\sqrt{21}$），P₃（0，4-$\sqrt{21}$）．
设PA的解析式为y=kx+b，将P₂、A点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=4+\sqrt{21}}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{21}}{2}}\\{b=4+\sqrt{21}}\end{array}\right.$，
PA的解析式为y=-$\frac{\sqrt{21}}{2}$x+4+$\sqrt{21}$；
设PA的解析式为y=kx+b，将P₃、A点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=4-\sqrt{21}}\\{k=\frac{\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$，
PA的解析式为y=$\frac{\sqrt{21}}{2}$x+4-$\sqrt{21}$；
③|PB|=|AB|，即5²+p²=5²，解得p=0，即p₄（0，0），
设PA的解析式为y=kx+b，将P₄、A点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
PA的解析式为y=2x．
综上所述：使△PAB为等腰三角形，直线PA的解析式y=$\frac{37}{16}$x-$\frac{5}{8}$；y=-$\frac{\sqrt{21}}{2}$x+4+$\sqrt{21}$；y=$\frac{\sqrt{21}}{2}$x+4-$\sqrt{21}$；y=2x．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用函数与k值无关得出k的系数等于零，不含k的项等于零是解题关键；利用等腰三角形的定义得出关于p的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．