Question

2．已知：如图，∠B=∠C=90°，∠ADC的平分线交BC于E点，连AE，若AD=DC+AB，求∠AED的度数．

Answer 1

分析 先构造出全等三角形，得出∠DEM=∠DEC ①，∠DME=∠C=90°，进而用HL判断出Rt△AME≌Rt△ABE，即可得出结论．

解答 解：如图，
在AD上取点M，使得DM=DC，
∵∠ADC的平分线交BC于E点，
∴∠MDE=∠CDE，
在△DME和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DC}\\{∠MDE=∠CDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴△DME≌△DCE，
∴∠DEM=∠DEC ①，∠DME=∠C=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠AEE=∠B
∵DM=DC，AD=DC+AB，
∴AM=AB，
在Rt△AME和Rt△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AM=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△AME≌Rt△ABE，
∴∠AEM=∠AEB②，
由①②可得∠AED=90°．

点评 此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了角平分线的性质，解本题的关键是构造出△DME≌△DCE，也可以用角平分线的性质定理和判定定理直接计算出．