Question

6．已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD=DE．

（1）如图1，求证：AD=CE；
（2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE=∠BAF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH=$\sqrt{3}$．求：EH的长．

Answer 1

分析 （1）作DF∥AB，可证△≌BDF△EDC，可得BF=CE，再证AD=BF即可解题；
（2）先构造出△BFG≌△DFA得出BG=AD，进而得出BG=CE，再用SAS判断出△ABG≌△ACE即可得出结论；
（3）先用含30°角的直角三角形的性质，求出AF，进而求出AE，最后用EH=AE-AH即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，作DF∥AB，

∵DF∥AB，
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
∵AC=BC，
∴CF=CD，
∴BF=AD，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=60°，
∴∠BFD=120°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBE，
在△BDF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠DCE}\\{∠E=∠DBE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EDC，（AAS）
∴BF=CE，
∴AD=CE，
（2）如图2，

过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，
∴∠G=∠DAF，∠CBG=∠ACB=60°，
∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=120°=∠ACE，
∵点F是BD中点，
∴BF=DF，
在△BFG和△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DAF}\\{∠BFG=∠DFA}\\{BF=DF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DFA，
∴BG=AD，
由（1）知，AD=CE，
∴BG=CE，
在△ABG和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACE}\\{BG=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACE，
∴∠BAF=CAE；
（3）由（2）知，∠BAF=∠CAE，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°，
∵FH⊥AE，
∴∠AHF=90°，
∴∠AFH=90°-∠FAE=30°，
在Rt△AFH中，AH=$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$，
由（2）知，△BFG≌△DFA，
∴GF=AF=2$\sqrt{3}$，
由（2）知，△ABG≌△ACE，
∴AE=AG=2AF=4$\sqrt{3}$，
∴EH=AE-AH=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是构造出△BFG≌△DFA，是一道比较简单的中考常考题．