Question

6．已知x为任意实数，给出下列关于x的不等式：
①x²+1≥2x；②x²+1≥-3x；③$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≥-$\frac{1}{2}$；④$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$$≤\frac{3}{2}$．
其中一定成立的是①③④（选出所有成立的不等式的序号）

Answer 1

分析 ①根据不等式（x-1）²≥0进行变形；②将x=-1代入原不等式进行判断；③根据不等式x²+2x+1≥0进行变形，得到x²+1≥-2x，再根据2（x²+1）＞0进行变形即可；④在不等式x²+1≥2x的两边都除以2（x²+1），进行变形即可．

解答 解：①∵x为任意实数，
∴（x-1）²≥0，即x²-2x+1≥0
∴x²+1≥2x，故①成立；
②∵x为任意实数，
∴当x=-1时，②不成立；
③∵x为任意实数，
∴x²+2x+1≥0，即x²+1≥-2x，
∵x为任意实数，
∴2（x²+1）＞0，
将x²+1≥-2x两边都除以2（x²+1），得
$\frac{1}{2}$≥-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，即$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≥-$\frac{1}{2}$，故③成立；
④∵x²+1≥2x，
∴两边都除以2（x²+1），得
$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+1≤$\frac{1}{2}$+1，
即$\frac{{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}+1}$$≤\frac{3}{2}$，故④成立．
故答案为：①③④

点评 本题主要考查了不等式的基本性质，解决问题的关键是运用x²-2x+1≥0和x²+2x+1≥0等结论．应用不等式的性质应注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．