Question

【题目】如图，抛物线交轴于点、（在的左侧），交轴于点，且，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为第四象限抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，设点横坐标为，线段的长度为，求与的函数关系式．（不要求写出的取值范围）

（3）在（2）的条件下，为延长线上一点，且，连接、、，的面积为，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）对于，令，得，从而点，由得到点将、代入，由待定系数法即可抛物线的解析式为；

（2）设由，可得直线的解析式为，由轴，故，由此可得，从而；

（3）过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于点，过点做，延长交轴于点，连接交于点，过点作．由已知可得、均为等腰直角三角形，从而，，由等式的性质可得，进而，由可得全等三角形的性质，，所以，，所以.由相似三角形的性质可得，由三角形的面积可求得OM的值，在中，由正切的定义可求得t的值，由即可得解.

（1）∵对于,

令，则，

∴，，

∴，

将、代入，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵在抛物线上，设，

∵，，

∴直线的解析式为，

∵轴，

∴点的横坐标与点横坐标相同，

∴，

∴，

∴；

（3）过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于点，过点做，延长交轴于点，连接交于点，过点作．

∵，，

∴、均为等腰直角三角形，

∴，，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在中，，

∴，

∴，

∴，

∴