Question

3．如图，在坡度i=1：$\sqrt{3}$的斜坡AB上立有一电线杆EF，工程师在点A处测得E的仰角为60°，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为15°，现要在斜坡AB上找一点P，在P处安装一根拉绳PE来固定电线杆，以使EF保持竖直，为使拉绳PE最短，则FP的长度约为（　　）（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

• A． 3.7米
• B． 3.9米
• C． 4.2米
• D． 5.7米

Answer 1

分析 要使点E到AB的距离最短，则EP⊥AB，根据题目中的信息可以求得FP的长度，本题得以解决．

解答 解：作BD∥AC，如右图所示，
∵斜坡AB的坡度i=1：$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAC=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠EAF=30°，
∵要使点E到AB的距离最短，
∴EP⊥AB于点P，
∴tan∠EAP=$\frac{EP}{AP}$，
∴AP=$\frac{EP}{tan30°}$，
∵∠EBD=15°，BD∥AC，
∴∠DBA=∠BAC=30°，
∴∠EBP=45°，
∴EP=PB，
∵AP+PB=AB=20米，
∴$\frac{EP}{tan30°}$+EP=20，
解得，EP=10$\sqrt{3}$-10，
又∵EF∥BC，∠B=90°-∠BAC=60°，
∴∠EFP=60°，
∵tan∠EFP=$\frac{EP}{PF}$，
即tan60°=$\frac{10\sqrt{3}-10}{PF}$，
解得，PF≈4.2米，
故选C．

点评 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件．