Question

【题目】已知抛物线，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（Ⅰ）求点A，B和点C的坐标；

（Ⅱ）已知P是线段上的一个动点．

①若轴，交抛物线于点Q，当取最大值时，求点P的坐标；

②求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A，B，C；（Ⅱ）①；②

【解析】

（Ⅰ）令，代入抛物线解析式即可求出A、B的坐标，令从而得出C点坐标；

（Ⅱ）①设代入B、C坐标即可得出直线解析式，设，，则，且Q在P上方，分别表示出PQ，BP即可得出PQ+BP的表达式，对表达式进行配方即可得出结果，②如图，延长至点D，使得，连接，作轴于点E，过点P作于点H，可证的是等腰直角三角形，由垂线段最短可知，当，，共线时取得最小值，根据题目已知条件得出D点坐标，表示出即可得出结果．

解：（Ⅰ）令，则，解得，．

∴A点坐标为，B点坐标为．

令，则．

∴C点坐标为．

（Ⅱ）①设：，将，分别代入得，

，解得，故．

可设，，则，且Q在P上方．

所以．

又．

故．

当时取得最大值，此时．

②如图，延长至点D，使得，连接，作轴于点E，过点P作于点H．

由，，，

所以，．

则是等腰直角三角形，．

，由垂线段最短可知，当，，共线时取得最小值．

∵，

∵，

∴．

∴．

∴，．

可得点D的坐标为．

∴，

，代入可得，

解得，故有．

所以的最小值为．