Question

【题目】已知：中，是直径，弦．

如图1，求证：

如图2，点在圆上，连接，若，求的值；

如图3，在的条件下，分别延长线段交于点，过作于，连接，若，求的长．

Answer 1

【答案】详见解析； ；

【解析】

（1）连接OC，OD，证明△AOD≌△BOC即可；

（2）作直径DQ，连接CQ，则∠DCQ=90°，根据DC∥AB，可得∠CHB=∠DCQ=90°，根据弧DC=弧DC，可得tan∠Q=tan∠DEC=，可设DC=7k，则CQ=24k，根据已知可得出CH=CQ=12k，HB=9k，即可得出tan∠B，根据弧AC=弧AC，可得∠CEA=∠B，即可得出答案；

（3）由现有条件可得AF=BF，连接FO，得∠OFG=∠EAB=α，再设∠AFG=β，在AE上取GN=AG=3，连接FN，则FN=FA=FB，推出tan∠NBE=，设BE=3n，则NE=4n，GE=2BE=6n，可推出AB==，所以在Rt△FOB中，tan∠OBF=，设FO=4t，OB=3t，即可得出FB，根据FA=FB即可确定答案．

（1）如图，连接OC，OD，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∵DC∥AB，

∴∠AOD=∠ODC=∠OCD=∠BOC，

又∵OA=OB，

∴△AOD≌△BOC，

∴AD=BC；

（2）作直径DQ，连接CQ，则∠DCQ=90°，

∵DC∥AB，

∴∠CHB=∠DCQ=90°，

又∵AB是直径，

∴CH=QH=CQ，

∴OH是△DCQ的中位线，

∴OH=DC，

∵弧DC=弧DC，

∴∠DEC=∠Q，

∴tan∠Q=tan∠DEC=，

设DC=7k，则CQ=24k，

∴CH=CQ=12k，OH=DC=k，

2r=DQ==25k，

∴OB=r=k，

∴HB=OB-OH=k-k=9k，

∴tan∠B===，

∵弧AC=弧AC，

∴∠CEA=∠B，

∴tan∠CEA= tan∠B=；

（3）如图1，

∵∠AOD =∠BOC，

∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC，即∠AOC=∠BOD，

∴弧AC=弧BD，

∴∠FAB=∠FBA，

∴AF=BF，

如图3，连接FO，

∵AO=BO，

∴∠BFO=∠AFO，FO⊥AB，

又∵FG⊥AE，

∴∠FOA=∠AGF=90°，

∴∠OFG=∠EAB=α，

设∠AFG=β，

则∠BFO=∠AFO=∠OFG+∠AFG=α+β，

∴∠AFB=2（α+β），

在AE上取GN=AG=3，连接FN，则FN=FA=FB，

∴∠GFN=∠AFG=β，

∴∠NFB=∠AFB-∠AFN=2（α+β）-2β=2α，

∴∠FBN=∠FNB==90°-α，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠ABE=90°-∠EAB=90°-α=∠FBN，

∴∠ABE-∠ABN=∠FBN-∠ABN，

∴∠NBE=∠ABC，

∴tan∠NBE=，

∴设BE=3n，则NE=4n，

GE=2BE=6n，

∴6n=3+4n，

∴n=，

∴BE=，AE=12，

∴AB==，

在Rt△FOB中，tan∠OBF=，

∴设FO=4t，OB=3t，

∴FB==5t，

∴FB=OB=×=，

∴FA=FB=．