Question

如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F，
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为8，AE=x，BF=y，请解决下列问题：
①求y与x的函数关系式；
②在AB边上是否存在点E，使得BF=3？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）证明∠A=∠B，∠ADE=∠BEF，即可解决问题．
（2）证明AD=8，BE=8-x；由△ADE∽△BEF，得到AD：BE=AE：BF，化简、整理即可解决问题．
（3）由题意得到x²-8x+24=0，证明该方程的判别式△＜0，即可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°；
又∵EF⊥DE，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，而∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEF．
（2）①∵正方形的边长为8，AE=x，
∴AD=8，BE=8-x；
∵△ADE∽△BEF，
∴AD：BE=AE：BF，
∴BF=-

1

8

x2+x，
即y=-

1

8

x2+x．
（3）若BF=3，则-

1

8

x2+x=3，
即x²-8x+24=0，
∵判别式△=64-4×24＜0，
∴该方程无解，
故这样的点E不存在．

点评：该题以正方形为载体，以正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．