Question

15．直线l的解析式为y=-2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；
（2）将直线l向上平移4个单位得到l₁，l₁交x轴于点C．作出l₁的图象，l₁的解析式是y=-2x+6．
（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l₂，l₂交l₁于点D．作出l₂的图象，tan∠CAD=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；
（2）将直线向上平移4个单位可得直线l₁，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；
（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l₂的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO=$\frac{OE}{OA}$可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，-2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），
当x=0时，y=2，即点B（0，2），
如图，直线AB即为所求；


（2）如图，直线l₁即为所求，
直线l₁的解析式为y=-2x+2+4=-2x+6，
故答案为：y=-2x+6；

（3）如图，直线l₂即为所求，
方法一、∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l₂，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD+∠OAB=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∴tan∠CAD=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$；
方法二：∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l₂，
∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），
设直线l2解析式为y=kx+b，
将点A（1，0）、（3，1）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l₂与y轴的交点E（0，-$\frac{1}{2}$），
∴tan∠CAD=tan∠EAO=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查一次函数图象与几何变换及一次函数图象，熟练掌握平移变换和旋转变换的性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．