Question

6．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．

Answer 1

分析 延长PQ交直线AB于点E，设测出AB的长度为m米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用PE表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得PE的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

解答 解：同意他们的测量方案；
延长PQ交直线AB于点E，
设测出AB的长度为m米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE，
∵AB=AE-BE=m，
则PE-$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE=m，
解得：PE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m．
则BE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m-m=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$m．
在直角△BEQ中，QE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$m）=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$m．
∴PQ=PE-QE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}+3}{3}$m．

点评 本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．