Question

6．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，再由轴对称的性质可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性质可知∠PDE′=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出PC的长．

解答 解：如图所示，
作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，
∵菱形ABCD的边长为2，E是AD边中点，
∴DE=DE′=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴△AE′D是直角三角形，
∵∠ABC=60°，
∴∠PDE′=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°，
∴PE′=DE′•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=$\sqrt{PE{′}^{2}+CE{′}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．