Question

11．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC于点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．
（1）求证：△CDF∽△CBO；
（2）若ED•EA=8，求BE和CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到DF⊥OD，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接BD，由AB为直径，得到BD⊥AE，根据相似三角形的想知道的BE²=AE•DE=8，得到BE=2$\sqrt{2}$，根据切线的性质得到FB=DF，得到EF=BF=DF=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴∠CDF=∠CBO=90°，
∵∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO；

（2）连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AE，
∴∠BDE=∠ABE，
∴△ABE∽△BDE，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴BE²=AE•DE=8，
∴BE=2$\sqrt{2}$，
∵FD是⊙O的切线，
∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切线，
∴FB=DF，
∵∠BDE=90°，
∴EF=BF=DF=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{2}$，
∵△CDF∽△CBO，
∴$\frac{DF}{BO}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$，
∵AB=BC，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{10}$，
∴CE=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．