Question

9．已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a}\\{x-y=3a}\end{array}\right.$，
（1）求函数y的表达式；
（2）若点P的坐标为（m，0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；
（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围．

解答 解：（1）
$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a①}\\{x-y=3a②}\end{array}\right.$，
①×3，得3x+9y=12-3a③，
②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3，
得，$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；
（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0），
当x=0时，y=$\frac{3}{2}$，即函数y的图象与y轴交于点B（0，$\frac{3}{2}$），
当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，
此时∠PCA=90°
∴∠PCA=∠BOA，
且∠BAO=∠PAC，
∴△ABO∽△APC，
∴$\frac{PC}{OB}=\frac{AC}{OA}$，即$\frac{1}{{\frac{3}{2}}}=\frac{AC}{3}$，
∴AC=2，
∴PA=$\sqrt{5}$
此时，P的横坐标为3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$，
∴当圆P与直线y有交点时，3-$\sqrt{5}$≤m≤3+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题．