Question

17．某文具店出售一种文具，进价为10元/件，标记为12元/件，如购买10件以上，可以享受批发价，每多买1件，所买的每件文具均优惠0.1元，但每件文具的售价不得低于进价，若小莉一次性购买文具x件时，该文具店从中获利y元．
（1）当0＜x≤10时，求y与x的函数关系式；
（2）当x＞10时，每件文具的售价是多少元？（用含x的式子表示），并求出此时y与x的函数关系式；
（3）小莉一次性购买文具多少件时，该文具店从中获利最多？

Answer 1

分析 （1）根据获利=（每件售价-每件进价）×销售数量，即可得出结论；
（2）先算出售价等于进价时的购买数量，再以此为界，分两部分讨论，根据销售单价=12-（数量-10）×0.1，再结合获利=（每件售价-每件进价）×销售数量，即可得出结论；
（3）由于获利y关于购进文具数x的函数关系式为分段函数，故分段考虑最值，最后再作比较，即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意可知：
当0＜x≤10时，y=（12-10）x=2x．
（2）∵（12-10）÷0.1=20，20+10=30，
∴当10＜x≤30时，每件文具售价为12-（x-10）×0.1=13-0.1x，
y=（13-0.1x-10）x=-0.1x²+3x；
当30＜x时，每件文具售价为10元，
y=（10-10）x=0．
（3）当0＜x≤10时，y=（12-10）x=2x，单调递增，
即当x=10时，y取最大值20元；
当10＜x≤30时，y=-0.1x²+3x=-0.1（x-15）²+22.5，
即当x=15时，y去最大值22.5元．
∵22.5＞20，
∴小莉一次性购买文具15件时，该文具店从中获利最多，最多获利为22.5元．

点评 本题考查了一次函数中的分段函数以及一次函数和二次函数求最值问题，解题的关键：（1）获利=（每件售价-每件进价）×销售数量；（2）算出售价等于进价时的购买数量，分段考虑；（3）分别求取最值再进行比较．本题属于基础题，（1）（2）难度不大，（3）稍微有点难度，解决该类题型，要想到利用函数的单调性求取最值．