题目内容
二次函数y=ax2-6ax+c（a＞0）的图象抛物线过点C（0，4），设抛物线的顶点为D．（1）若抛物线经过点（1，-6），求二次函数的解析式；
（2）若a=1时，试判断抛物线与x轴交点的个数；
（3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5．且抛物线过点A（x1，y1），B（x2，y2），并有AD=BD．设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若
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考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）把点C和点（1，-6）代入函数解析式求出a、c的值，即可得解；
（2）把a=1代入函数解析式，令y=0，利用根的判别式解答；
（3）连接AP，作PF⊥AB交AB于F，根据抛物线解析式求出对称轴解析式，再求出点A、B的坐标，然后在Rt△APF中利用勾股定理列式求出PF，从而得到点P的坐标，再根据顶点公式求出点D的坐标，然后求出PD，再分点D在⊙P内，在⊙P上和在⊙P外三种情况讨论求解即可．
（2）把a=1代入函数解析式，令y=0，利用根的判别式解答；
（3）连接AP，作PF⊥AB交AB于F，根据抛物线解析式求出对称轴解析式，再求出点A、B的坐标，然后在Rt△APF中利用勾股定理列式求出PF，从而得到点P的坐标，再根据顶点公式求出点D的坐标，然后求出PD，再分点D在⊙P内，在⊙P上和在⊙P外三种情况讨论求解即可．
解答：解：（1）由二次函数y=ax2-6ax+c（a＞0）的图象过点C（0，4）得，c=4，
若抛物线经过点（1，-6），则a-6a+4=-6，
解得a=2，
所以，二次函数的解析式为y=2x2-12x+4；
（2）若a=1，则二次函数解析式为y=x2-6x+4，
令y=x2-6x+4=0，
则△=（-6）2-4×1×4=20＞0，
所以，抛物线与x轴的交点有2个；
（3）连接AP，作PF⊥AB交AB于F，
由二次函数y=ax2-6ax+c（a＞0）可得对称轴为直线x=-
=3，
∵A、B在抛物线上，AB=8，且AD=BD，
∴点A、B关于对称轴直线x=3对称，
∴点A（-1，7a+4），B（7，7a+4），
在Rt△APF中，AF=
AB=4，AP=5，
由勾股定理得，PF=
=
=3，
∴点P的坐标为（3，7a+1），
由顶点公式得D（3，4-9a），
∵a＞
，
∴16a-3＞0，
∴点P在点D的上方，
∴PD=（7a+1）-（4-9a）=16a-3，
①点D在⊙P内时，PD1＜5，则16a-3＜5，
＜a＜
，
此时，∠AEB＜∠ADB，
②点D在⊙P上时，PD2=5，则16a-3=5，a=
，
此时，∠AEB=∠ADB，
③点D在⊙P外时，PD3＞5，则16a-3＞5，
＜a≤1，
此时，∠AEB＞∠ADB．
若抛物线经过点（1，-6），则a-6a+4=-6，
解得a=2，
所以，二次函数的解析式为y=2x2-12x+4；
（2）若a=1，则二次函数解析式为y=x2-6x+4，
令y=x2-6x+4=0，
则△=（-6）2-4×1×4=20＞0，
所以，抛物线与x轴的交点有2个；
（3）连接AP，作PF⊥AB交AB于F，
由二次函数y=ax2-6ax+c（a＞0）可得对称轴为直线x=-
| -6a |
| 2a |
∵A、B在抛物线上，AB=8，且AD=BD，
∴点A、B关于对称轴直线x=3对称，
∴点A（-1，7a+4），B（7，7a+4），
在Rt△APF中，AF=
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由勾股定理得，PF=
| AP2-AF2 |
| 52-42 |
∴点P的坐标为（3，7a+1），
由顶点公式得D（3，4-9a），
∵a＞
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∴16a-3＞0，
∴点P在点D的上方，
∴PD=（7a+1）-（4-9a）=16a-3，
①点D在⊙P内时，PD1＜5，则16a-3＜5，
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此时，∠AEB＜∠ADB，
②点D在⊙P上时，PD2=5，则16a-3=5，a=
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此时，∠AEB=∠ADB，
③点D在⊙P外时，PD3＞5，则16a-3＞5，
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此时，∠AEB＞∠ADB．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点的个数的求解，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，难点在于（3）求出抛物线的对称轴并确定出点A、B的坐标，然后求出点P和顶点D的坐标，从而求出PD的长度，也是解决本题的关键．
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