如图①.若直线l:y=-2x+4交x轴于点A.交y轴于点B.将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A.B.D的抛物线h:y=ax2+bx+4．(1)求抛物线h的表达式,(2)若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移.交线段CD于点M.交抛物线h于点N.求线段MN的最大值,(3)如图②.点E为抛物线h的顶点.点P是抛物线h在第二象限的上一动点.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图①，若直线l：y=-2x+4交x轴于点A、交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A，B，D的抛物线h：y=ax²+bx+4．

（1）求抛物线h的表达式；
（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M、交抛物线h于点N，求线段MN的最大值；
（3）如图②，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限的上一动点（不与点D、B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

分析（1）先由直线l的解析式得出A、B的坐标，再根据旋转的性质得出D点坐标，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出N点横坐标，纵坐标用横坐示表示，同时表示出M点坐标，而MN的长度为N点与M点的纵坐标之差，得出MN的长度是N点横坐标的二次函数，利用配方法求出最值；
（3）显然分G点在y轴上和F点在y轴上两大情况，根据每种情况列方程进行求解．

解答解：（1）∵直线l：y=-2x+4交x轴于点A、交y轴于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴D（-4，0），C（0，2），
设过点A，B，D的抛物线h的解析式为：y=a（x+4）（x-2），
将B点坐标代入可得：4=a（0+4）（0-2），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线h的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）∵D（-4，0），C（0，2），
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
设N点坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²-n+4），
则M点坐标为（n，$\frac{1}{2}n+2$），
∴MN=y_N-y_M=-$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{3}{2}n+2$=-$\frac{1}{2}$（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴当n=-$\frac{3}{2}$时，MN最大，最大值为$\frac{25}{8}$；
（3）若G点在y轴上，如图，

作PH⊥y轴于H，交抛物线对称轴于K，
在△PKE和△GHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPK=∠PGH}\\{PE=GP}\\{∠PEK=∠GPH}\end{array}\right.$，
∴△PKE≌△GHP，
∴PK=GH，EK=PH，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴E（-1，$\frac{9}{2}$），
设P（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}-m+4$），则：
EK=y_E-y_P=$\frac{9}{2}$+$\frac{1}{2}{m}^{2}+m-4$=$\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{1}{2}$，
PH=-m，
∴$-m=\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{1}{2}$，
∴$m=-2±\sqrt{3}$，
∴P点的坐标为（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}-\sqrt{3}$）（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}+\sqrt{3}$）；
若F点在y轴上，如图，

作PR⊥抛物线对称轴于R，FQ⊥抛物线对称轴于Q，
则△PER≌△EFQ，
∴ER=FQ，
∴y_E-y_P=-x_E，
∴$\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{1}{2}$=1，
∴m=-1-$\sqrt{2}$或m=-1+$\sqrt{2}$（舍），
∴P点的坐标为（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$），
综上所述，满足要求的P点坐标有三个，分别为：（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}-\sqrt{3}$）、（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}+\sqrt{3}$、（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）．

点评本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数图象上坐标点的特征，待定系数法求二次函数解析式，利用纵坐标之差表示竖直方向线段的长度，利用配方法求二次函数最值，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等众多知识点，综合性强，难度较大．对于（3）问，根据正方形的性质巧妙构造出全等三角形，从而得出线段相等而列出方程是解答的关键和要点．