Question

4．如图，同心⊙O中，大圆弦AB与小圆交于点M、N．
（1）求证：AM=BN；
（2）若AB=8，MN=4，且大圆半径为5，求小圆的半径．

Answer 1

分析 （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，ME=NE，从而得到AM=BN；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥NM，连接OM，OA，再根据勾股定理求出OE及OM的长即可．

解答 解：（1）如图1所示：过点E作OE⊥AB，垂足为E．

              图1
∵OA⊥AB，
∴AE=BE，ME=NE．
∴AE-ME=EB-NE，即AM=NB．
（2）如图2所示：

            图2
∵AE=BE，AB=8，
∴AE=4．
又∵AO=5，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3．
∵ME=NE，MN=4，
∴ME=2．
∴OM=$\sqrt{O{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．