Question

14．如图1，已知点A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁，x₂是方程x²-8x+12=0的两根，且x₁＜x₂，C（3，$\sqrt{3}$）．

（1）求点A、B的坐标．
（2）作CH⊥AB于H，设E为OC延长线上一点，连EH交线段BC于F，问是否存在点E，使△CHF与△BEF相似？如果存在，求OE的长，如果不存在，说明理由．
（3）如图2，取AB的中点D，问在直线CD上是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接解一元二次方程即可得出点A，B坐标；
（2）先求出∠CBH=30°，进而判断只有△CHF∽△HBF即可得出FH⊥BC，再求出直线BC解析式，进而得出FH的解析式，联立直线OC的解析式即可得出结论；
（3）先判断出∠ACB是直角，即可用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-8x+12=0的两根，
∴x₁=2，x₂=6，∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，理由：如图1，由（1）知，B（6，0），
∵CH⊥AB于H且C（3，$\sqrt{3}$），
∴H（3，0），
∴OH=BH=3，
∵CH=$\sqrt{3}$，在Rt△BCH中，tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBH=30°，
∴∠BCH=60°，
∵点E在OC延长线上，
∴∠CHF＜60°，
∵△CHF与△BEF相似，
∴△CHF∽△HBF，
∴∠BHF=∠BCH=60°，
∴∠BHF+∠CBH=90°，
∴∠BFH=90°，
∴FH⊥BC，
∵B（6，0），C（3，$\sqrt{3}$），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∵H（3，0），
∴直线FH的解析式为y=$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$①，
∵C（3，$\sqrt{3}$），
∴直线OC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x②，
联立①②得，点E（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴OE=3$\sqrt{3}$；
（3）如图2．∵A（2，0），B（6，0），C（3，$\sqrt{3}$），
∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，
∴△ABC是直角三角形，即：∠ACB=90°，
∵点D是AB中点，
∴D（4，0），CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵△ABP是直角三角形，
∴∠APB=90°，
①点P和点C重合，即：P（3，$\sqrt{3}$）；
②∵∠APB=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵P在CD上，
∴D点D也是CP的中点，
∴P（5，-$\sqrt{3}$）；
即：满足条件的点P（3，$\sqrt{3}$）或（5，-$\sqrt{3}$）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了一元二次方程的解法，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，相似三角形的性质，解（2）的关键是判断出△CHF∽△HBF，解（3）的关键是得出∠ACB=90°．