Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点（可以运动到点A和点B），连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，
①求证：AE=DF；
②若EM=3，∠FEA=45°，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，请直接写出△GEF的形状，并求点F到AB的距离；
（2）改变平行四边形ABCD中∠B的度数，当∠B=90°时可得到如图2所示的矩形ABCD，请判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，取MG中点P，连接EP，点P随着点E的运动而运动，当点E在线段AB上运动的过程中，请直接写出△EPG的面积S的范围．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①利用△AME≌△DMF即可得出结论．②由中垂线可得出EG=FG即△GEF是等腰三角形，作FH⊥BA交BA的延长线于点H，由等腰直角三角形求出点F到AB的距离；
（2）过点G作GH⊥AD于H，由△AEM≌△HMG结合（1）是的结论得出△GEF是等腰直角三角形．
（3）①当点E与点B重合时，△EPG的面积最大，②当点E与点A重合时，△EPG的面积最小，运用S=

1

2

S_△EMG求出△EPG的面积，即可得出△EPG的面积S的范围．

解答：证明：（1）①∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDM，
∵∠AME=∠DMF，
在△AME和△DMF中，

∠A=∠FDM AM=DM ∠AME=∠DMF

∴△AME≌△DMF（ASA），
∴AE=DF．
②由①可得EM=FM，
∵MG⊥EF，
∴EG=FG
∴△GEF为等腰三角形．
如图1，作FH⊥BA交BA的延长线于点H，

∵EM=3，∠FEA=45°，
∴EF=6，
FH=

EF

2

=

6

2

=3

2

．
（2）△GEF是等腰直角三角形．
证明：如图2，过点G作GH⊥AD于H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∵AM=GH，
在△AEM和△HMG中，

∠AEM=∠GMH ∠EAM=∠MHG AM=GH

∴△AEM≌△HMG（AAS）．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得∴△AME≌△DMF，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3）①如图3，当点E与点B重合时，△EPG的面积最大

此时点G与点C重合，
∵AB=2，AM=2，
∴BM=2

2

，MG=2

2

，
∴S_△EMG=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
∵P为MG中点，
∴S=

1

2

S_△EMG=

1

2

×4=2，
②如图4，当点E与点A重合时，△EPG的面积最小，

∵AM=2，GM=2，P为MG的中点，
∴PM=1，
∴S=

1

2

×AM•MP=

1

2

×2×1=1，
∴1≤S≤2．

点评：本题主要考查了四边形综合题．涉及全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定及矩形的性质，解题的关键是结合图形灵活运用判定及性质求解．