Question

19．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=$\frac{1}{3}$AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；
②当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．

解答 解：∵AE=$\frac{1}{3}$AD，
∴分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图1所示
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE=$\frac{1}{3}$AD，
∴DE=2AE=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$BC，
∴DE：BC=2：3，
∴EF：FC=2：3；
②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：
同①得：△EFD∽△CFB，
∴EF：FC=DE：BC，
∵AE=$\frac{1}{3}$AD，
∴DE=4AE=$\frac{4}{3}$AD=$\frac{4}{3}$BC，
∴DE：BC=4：3，
∴EF：FC=4：3；
综上所述：EF：FC的值是$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．