Question

5．观察下列等式：
①$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，②$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，③$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$．
将以上三个等式两边分别相加，得
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）请写出第④个式子$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
（2）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{100×102}$．

Answer 1

分析 （1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
（2）根据以上规律直接写出即可．
（3）各项提出$\frac{1}{2}$之后即可应用（1）中的方法进行计算．

解答 解：（1）答案为：$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
（2）答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（3）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{100×102}$
=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{50×51}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{50}{51}$
=$\frac{25}{102}$

点评 本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是总结出数字变化的规律并加以运用．