Question

7．如图，在矩形AOBC中，AO=3，BO=4，⊙O的半径为1，点M是矩形对角线AB边上的动点，过点M做⊙O的一条切线MN，切点为N，则切线长MN的最小值是$\frac{\sqrt{119}}{5}$．

Answer 1

分析 由MN为⊙O切线，推出ON⊥MN，在Rt△OMN中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{O{M}^{2}-{1}^{2}}$，当OM最小时，MN最小，而当OM⊥AB时，OM最小，此时OM=$\frac{OA•OB}{AB}$，由此即可解决问题．

解答 解：连结ON、如图，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵MN为⊙O切线，
∴ON⊥MN，
在Rt△OMN中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{O{M}^{2}-{1}^{2}}$，
当OM最小时，MN最小，
而当OM⊥AB时，OM最小，此时OM=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴MN的最小值为=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{119}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{119}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．