Question

已知抛物线y=x²-2x-

5

4

与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）点A的坐标为

 

，点C的坐标为

 

；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P，O，A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A的坐标，再另x=0求出x的值即可得到点C的坐标；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分①OP和OA是对应边，②OP和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，然后根据点P在y正半轴写出点的坐标即可．

解答：解：（1）令y=0，则x²-2x-

5

4

=0，
整理得，4x²-8x-5=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=

5

2

，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（-

1

2

，0），
令x=0，则y=-

5

4

，
∴点C的坐标为（0，-

5

4

）；
故答案为：（-

1

2

，0），（0，-

5

4

）；

（2）∵A（-

1

2

，0），C（0，-

5

4

），
∴OA=

1

2

，OC=

5

4

，
①OP和OA是对应边时，△POA∽△AOC，
∴

OP

OA

=

OA

OC

，
即

OP

1 2

=

1 2

5 4

，
解得OP=

1

5

，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴P（0，

1

5

），
②OP和OC是对应边时，△POA∽△COA，
∴

OP

OC

=

OA

OA

=1，
∴OP=OC=

5

4

，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴P（0，

5

4

），
综上所述，点P的坐标为P（0，

1

5

）或（0，

5

4

）时，以点P，O，A为顶点的三角形与△AOC相似．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求解方法，相似三角形对应边成比例的性质，难点在于（2）要分情况讨论．