Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…
（1）猜想并写出：

1

n×(n+1)

=

 

．
（2）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

（3）探究并计算：
①

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

②

5

6

-

7

12

+

9

20

-

11

30

+…-

99

2450

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）①根据乘法分配律提取

1

4

，再计算即可求解；
②先拆项，再抵消即可求解．

解答：解：（1）

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；

（3）①

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

=

1

4

×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1006×1007

）
=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1006

-

1

1007

）
=

1

4

×（1-

1

1007

）
=

1

4

×

1006

1007

=

503

2014

；

②

5

6

-

7

12

+

9

20

-

11

30

+…-

99

2450

=

1

2

+

1

3

-

1

3

-

1

4

+

1

4

+

1

5

-

1

5

-

1

6

+…-

1

49

-

1

50

=

1

2

-

1

50

=

12

25

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

．

点评：本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．