Question

8．若x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，则$\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{3}}}$-$\root{3}{{x}^{4}-{x}^{2}}$的值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先求出$\frac{1}{x}$和x-$\frac{1}{x}$的值，再根据立方根和算术平方根定义进行变形，再代入求出即可．

解答 解：∵x═$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜0，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{1-\sqrt{5}}$=$\frac{2（1+\sqrt{5}）}{（1-\sqrt{5}）（1+\sqrt{5}）}$=-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜0，
x-$\frac{1}{x}$=1，
∴$\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{3}}}$-$\root{3}{{x}^{4}-{x}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}（x-\frac{1}{x}）}$-$\root{3}{{x}^{3}（x-\frac{1}{x}）}$
=-$\frac{1}{x}$$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$-x$\root{3}{x-\frac{1}{x}}$
=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{1}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$\root{3}{1}$
=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次根式的化简和求值的应用，能根据二次根式的性质进行变形是解此题的关键，难度适中．