Question

10．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分线的性质可得AP=AQ，易得∠EQC=45°，可得CE=CQ，由CE=t，则BP=2t，CQ=t，∴AQ=8-t，利用勾股定理可得AB，则AP=10-2t，AQ=8-t，可得10-2t=8-t，解得t；  
（2）过P作PM⊥BE，交BE于M，由$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{PM}{BP}$可得PM，因为y=S_△ABC-S_△BPE，易得y与t的函数关系式，利用二次函数的最值可得y的最小值；
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，过P作PN⊥AC，交AC于N，易得△PAN∽△BAC，利用相似三角形的性质可得PN，AN，NQ，因为∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，可得△QCF∽△QNP，利用相似三角形的性质列式，可解得结果．

解答 解：（1）如图（1），∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ，
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°，∴∠DEF=∠EQC，∴CE=CQ，
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t，∴AQ=8-t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm，
则AP=10-2t，∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）如图（2），过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP=90°，
在Rt△ABC和Rt△BPM中，
∴$sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{PM}{BP}$，∴$\frac{PM}{2t}=\frac{10}{8}$，
∴PM=$\frac{8}{5}t$，
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t，
∴y=S_△ABC-S_△BPE
=$\frac{1}{2}BC•AC-\frac{1}{2}BE•PM=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×（6-t）×\frac{8}{5}t$
=$\frac{4}{5}{t^2}-\frac{24}{5}t+24=\frac{4}{5}{（t-3）^2}+\frac{84}{5}$，
∵$a=\frac{4}{5}＞0$，
∴抛物线开口向上，
∴当t=3时，y_最小=$\frac{84}{5}$，
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 $\frac{84}{5}$cm²；

（3）如图（3），假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上，
过P作PN⊥AC，交AC于N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AN}{AC}$，∴$\frac{PN}{6}=\frac{10-2t}{10}=\frac{AN}{8}$，∴$PN=6-\frac{6}{5}t$，$AN=8-\frac{8}{5}t$，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=$8-t-（8-\frac{8}{5}t）=\frac{3}{5}t$，
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP，
∴$\frac{PN}{FC}=\frac{NQ}{CQ}$，∴$\frac{{6-\frac{6}{5}t}}{9-t}=\frac{{\frac{3}{5}t}}{t}$，
∵0＜t＜4.5，
∴$\frac{{6-\frac{6}{5}t}}{9-t}=\frac{3}{5}$，
解得：t=1，
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，作恰当的辅助线，构建直角三角形是解答此题的关键．